3. Из числового отрезка [0; 1] последовательно выбирают 5 случайных чисел. Како вероятность события: а) М «все выбранные числа окажутся больше, чем 0,5»; 6) К «ровно два числа окажутся меньше, чем 0,7»?

3. Из числового отрезка [0; 1] последовательно выбирают 5 случайных чисел. Какова вероятность события:

а) M «все выбранные числа окажутся больше, чем 0,5»;

б) K «ровно два числа окажутся меньше, чем 0,7»?

а) Вероятность того, что одно случайно выбранное число из отрезка [0; 1] будет больше 0,5, равна длине отрезка (0,5; 1], деленной на длину всего отрезка [0; 1], то есть $$P(x > 0,5) = \frac{1 - 0,5}{1 - 0} = 0,5$$. Так как выбирают 5 чисел, и все они должны быть больше 0,5, то вероятности перемножаются:

$$P(M) = (0,5)^5 = \frac{1}{32} = 0,03125$$

б) Вероятность того, что одно случайно выбранное число из отрезка [0; 1] будет меньше 0,7, равна длине отрезка [0; 0,7), деленной на длину всего отрезка [0; 1], то есть $$P(x < 0,7) = \frac{0,7 - 0}{1 - 0} = 0,7$$. Вероятность того, что число будет больше или равно 0,7, равна $$P(x \geq 0,7) = 1 - 0,7 = 0,3$$.

Нам нужно, чтобы ровно два числа оказались меньше 0,7. Это задача на биномиальное распределение, где $$n = 5$$ (количество испытаний), $$k = 2$$ (количество успехов, в данном случае "успех" - это число меньше 0,7), $$p = 0,7$$ (вероятность успеха), $$q = 0,3$$ (вероятность неудачи).

$$P(K) = C_5^2 \cdot p^2 \cdot q^{5-2} = C_5^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3$$

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

$$P(K) = 10 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3 = 10 \cdot 0,49 \cdot 0,027 = 10 \cdot 0,01323 = 0,1323$$

Ответ: $$P(M) = 0,03125$$, $$P(K) = 0,1323$$