2. Проводят шесть одинаковых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р > Расположите следующие события в порядке убывания вероятностей: А «успех случится хотя бы один раз»; В «успех случится только при последней попытке»; С «при последней попытке случится успех».

2. Проводят шесть одинаковых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p > 0$$. Расположите следующие события в порядке убывания вероятностей:

A «успех случится хотя бы один раз»;

B «успех случится только при последней попытке»;

C «при последней попытке случится успех».

Рассмотрим вероятности каждого из событий:

A: «успех случится хотя бы один раз». Вероятность этого события можно найти как 1 минус вероятность того, что не произойдет ни одного успеха (все шесть попыток будут неудачными). Вероятность неудачи в одной попытке равна $$q = 1 - p$$. Значит,

$$P(A) = 1 - q^6 = 1 - (1 - p)^6$$

B: «успех случится только при последней попытке». Это означает, что первые пять попыток были неудачными, а последняя - успешной. Тогда:

$$P(B) = q^5 \cdot p = (1 - p)^5 \cdot p$$

C: «при последней попытке случится успех». Это означает, что последняя попытка была успешной. Вероятность этого события равна вероятности успеха в одной попытке, то есть $$p$$. Важно понимать, что это не то же самое, что «успех случится только при последней попытке». Другие попытки могут быть успешными или нет.

$$P(C) = p$$

Расположим эти вероятности в порядке убывания. Поскольку $$0 < p < 1$$, то $$0 < (1 - p) < 1$$.

Вероятность события A: $$P(A) = 1 - (1 - p)^6$$. Так как $$0 < (1 - p) < 1$$, то $$(1 - p)^6$$ будет меньше 1, и, следовательно, $$1 - (1 - p)^6$$ будет близка к 1 (но меньше 1). Это значит, что A имеет наибольшую вероятность.

Вероятность события C: $$P(C) = p$$. Это просто вероятность успеха в одной попытке.

Вероятность события B: $$P(B) = (1 - p)^5 \cdot p$$. Здесь у нас произведение вероятности неудачи в пятой степени на вероятность успеха. Так как $$0 < (1 - p) < 1$$, то $$(1 - p)^5$$ будет меньше 1, и произведение $$(1 - p)^5 \cdot p$$ будет меньше, чем просто $$p$$.

Теперь сравним B и C:

$$P(B) = (1 - p)^5 \cdot p$$ и $$P(C) = p$$

Так как $$(1 - p)^5 < 1$$, то $$P(B) < P(C)$$.

Таким образом, порядок убывания вероятностей: A > C > B.

Ответ: A > C > B