1. Проводится серия изл = 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р вероятностью неудачи д 1-р. а) Выразите через р и д вероятность события А «успех случится только во второг пятой, восьмой и десятой попытках». б) Выразите через р и д вероятность события В «случится ровно 3 успехал.

Ответ:

1. Проводится серия из $$n = 10$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$, вероятностью неудачи $$q = 1 - p$$.

a) Выразите через $$p$$ и $$q$$ вероятность события A «успех случится только во второй, пятой, восьмой и десятой попытках».

Вероятность события A можно выразить как произведение вероятностей успеха в указанных попытках и вероятности неудачи в остальных попытках. Так как успех должен случиться только во второй, пятой, восьмой и десятой попытках, то остальные попытки должны быть неудачными. Имеем:

$$P(A) = p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot p \cdot q \cdot q \cdot p \cdot q \cdot p = p^4 \cdot q^6$$

б) Выразите через $$p$$ и $$q$$ вероятность события B «случится ровно 3 успеха».

Вероятность события B, когда случается ровно 3 успеха в 10 испытаниях, можно выразить с использованием биномиального распределения. Формула для биномиального распределения:

$$P(B) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$, где $$C_n^k$$ - количество сочетаний из $$n$$ по $$k$$,

В нашем случае: $$n = 10$$, $$k = 3$$. Тогда:

$$P(B) = C_{10}^3 \cdot p^3 \cdot q^{10-3} = C_{10}^3 \cdot p^3 \cdot q^7$$

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$$

$$P(B) = 120 \cdot p^3 \cdot q^7$$

Ответ: $$P(A) = p^4 \cdot q^6$$, $$P(B) = 120 \cdot p^3 \cdot q^7$$