Одушевлённые существительные отвечают на вопрос кто?.
В предложении: Таганрог - родина А.П. Чехова, там прошли детство и юность писателя, одушевлённые существительные: Чехова, писателя.
Начальная форма (Именительный падеж, единственное число) этих слов: Чехов, писатель.
Ответ: Чехов, писатель