6. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

6. Пусть скорость первой группы $$v_1$$ км/ч, а скорость второй группы $$v_2$$ км/ч.

Расстояние между пунктами 18 км, время встречи 2 часа. Тогда:

$$2v_1 + 2v_2 = 18$$

Время, затраченное первой группой на весь путь: $$\frac{18}{v_1}$$

Время, затраченное второй группой на весь путь: $$\frac{18}{v_2}$$

Известно, что одной из них потребовалось на 54 минуты (0,9 часа) больше, чем другой. Значит:

$$\frac{18}{v_1} - \frac{18}{v_2} = \frac{54}{60} = 0.9$$

Упростим первое уравнение:

$$v_1 + v_2 = 9$$ $$v_2 = 9 - v_1$$

Упростим второе уравнение:

$$\frac{18}{v_1} - \frac{18}{9 - v_1} = 0.9$$

Разделим обе части на 0,9:

$$\frac{20}{v_1} - \frac{20}{9 - v_1} = 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{20(9 - v_1) - 20v_1}{v_1(9 - v_1)} = 1$$ $$180 - 20v_1 - 20v_1 = 9v_1 - v_1^2$$ $$180 - 40v_1 = 9v_1 - v_1^2$$ $$v_1^2 - 49v_1 + 180 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 2401 - 720 = 1681 = 41^2$$ $$v_{1_1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 + \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{49 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ $$v_{1_2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 - \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{49 - 41}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Если $$v_1 = 45$$ км/ч, то $$v_2 = 9 - 45 = -36$$, что невозможно (скорость не может быть отрицательной).

Если $$v_1 = 4$$ км/ч, то $$v_2 = 9 - 4 = 5$$ км/ч.

Итак, скорости групп: 4 км/ч и 5 км/ч.

Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч