Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 56 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 21 минуту после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение:

Пусть \( t_в \) — время велосипедиста в пути (в минутах), \( t_м \) — время мотоциклиста в пути (в минутах). Расстояние между городами обозначим \( S \).

Время встречи \( t_{встр} = 21 \) минута.

Из условия задачи известно, что мотоциклист приехал в В на 56 минут раньше, чем велосипедист в А:

\[ t_в - t_м = 56 \]

Когда они встретились, мотоциклист проехал расстояние \( S_м \) за 21 минуту, а велосипедист проехал расстояние \( S_в \) за 21 минуту. Остальное расстояние каждый из них проехал в одиночку.

Время, которое мотоциклист ехал до встречи: \( t_{м,встр} = 21 \) мин.

Время, которое велосипедист ехал до встречи: \( t_{в,встр} = 21 \) мин.

Время, которое мотоциклист ехал после встречи до города В: \( t_{м,после} = t_м - 21 \).

Время, которое велосипедист ехал после встречи до города А: \( t_{в,после} = t_в - 21 \).

Поскольку скорости постоянны, расстояния, пройденные за равные промежутки времени, равны. Мотоциклист и велосипедист ехали навстречу друг другу 21 минуту. За это время они вместе преодолели всё расстояние \( S \).

Пусть \( v_м \) — скорость мотоциклиста, \( v_в \) — скорость велосипедиста.

Тогда \( S = (v_м + v_в) \cdot 21 \).

Мотоциклист проехал всё расстояние \( S \) за время \( t_м \): \( S = v_м \cdot t_м \).

Велосипедист проехал всё расстояние \( S \) за время \( t_в \): \( S = v_в \cdot t_в \).

Из уравнения \( t_в - t_м = 56 \) имеем \( t_в = t_м + 56 \).

Теперь подставим выражения для \( v_м \) и \( v_в \) через \( S \) и \( t \) в уравнение \( S = (v_м + v_в) \cdot 21 \):

\[ S = (\frac{S}{t_м} + \frac{S}{t_в}) \cdot 21 \]

Разделим обе части на \( S \) (так как \( S \) не равно 0):

\[ 1 = (\frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в}) \cdot 21 \]

\[ \frac{1}{21} = \frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в} \]

Подставим \( t_в = t_м + 56 \):

\[ \frac{1}{21} = \frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_м + 56} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{21} = \frac{t_м + 56 + t_м}{t_м(t_м + 56)} \]

\[ \frac{1}{21} = \frac{2t_м + 56}{t_м^2 + 56t_м} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ t_м^2 + 56t_м = 21(2t_м + 56) \]

\[ t_м^2 + 56t_м = 42t_м + 1176 \]

\[ t_м^2 + 14t_м - 1176 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для \( t_м \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1176) = 196 + 4704 = 4900 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70 \]

Найдём \( t_м \):

\[ t_м = \frac{-14 \pm 70}{2} \]

Так как время не может быть отрицательным, берём положительный корень:

\[ t_м = \frac{-14 + 70}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ минут} \]

Теперь найдём \( t_в \):

\[ t_в = t_м + 56 = 28 + 56 = 84 \text{ минуты} \]

Переведём время велосипедиста в часы:

\[ 84 \text{ минуты} = \frac{84}{60} \text{ часа} = \frac{7}{5} \text{ часа} = 1.4 \text{ часа} \]

Ответ: \( 1.4 \) часа.