Из куска проволоки, имеющей сопротивление 20-40 Ом, сделано кольцо. В каких точках кольца следует подключить провода, чтобы получить сопротивление 9,1 Ом? Какова максимально возможная величина сопротивления между двумя точками проволочного кольца?

Сопротивление кольца пропорционально длине проволоки. Пусть сопротивление всего кольца 36 Ом (середина диапазона 20-40 Ом). Чтобы получить сопротивление 9,1 Ом, нужно подключить провода в точках, делящих кольцо в отношении $$x$$ и $$(1-x)$$, где:

$$\frac{36x(1-x)}{36x + 36(1-x)} = 9.1$$

$$36x(1-x) = 9.1 \cdot 36$$

$$x(1-x) = \frac{9.1}{36}$$

$$x - x^2 = 0.252(7)$$

$$x^2 - x + 0.252(7) = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1 - 4 \cdot 0.252(7) = 1 - 1.011 = -0.011$$

Поскольку дискриминант отрицательный, то решения в вещественных числах нет. Возьмем сопротивление кольца, равное 40 Ом.

$$\frac{40x(1-x)}{40x + 40(1-x)} = 9.1$$

$$\frac{40x(1-x)}{40} = 9.1$$

$$x(1-x) = \frac{9.1}{40}$$

$$x - x^2 = 0.2275$$

$$x^2 - x + 0.2275 = 0$$

$$D = 1 - 4 \cdot 0.2275 = 1 - 0.91 = 0.09$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{0.09}}{2} = \frac{1 + 0.3}{2} = 0.65$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{0.09}}{2} = \frac{1 - 0.3}{2} = 0.35$$

Нужно подключить провода в точках, делящих кольцо в отношении 0.35 и 0.65.

Максимальное сопротивление будет, когда провода подключаются в диаметрально противоположных точках, и оно равно $$\frac{R}{4}$$, где $$R$$ - сопротивление всего кольца. Значит, максимальное сопротивление равно 10 Ом.

Ответ: нужно подключить провода в точках, делящих кольцо в отношении 0.35 и 0.65; максимальное сопротивление равно 10 Ом.