5. Из одного города с разницей в 0,5 ч в одном направлении вышли две автомашины. Первая шла со скоростью 51 \(\frac{км}{ч}\), что составляет \(\frac{3}{4}\) скорости второй автомашины. Через какое время вторая машина догонит первую? Какое расстояние пройдет к здая машина к этому времени?

Пусть (v_1) - скорость первой машины, (v_2) - скорость второй машины, (t) - время в пути второй машины до встречи. По условию, (v_1 = 51) км/ч, и (v_1 = \frac{3}{4} v_2). Найдем (v_2): \[ 51 = \frac{3}{4} v_2 \] \[ v_2 = \frac{4}{3} \cdot 51 \] \[ v_2 = 68 \,\text{км/ч} \] Первая машина выехала на 0.5 часа раньше, поэтому её время в пути до встречи составляет (t + 0.5). Расстояние, которое проедет каждая машина до встречи, одинаково. Запишем уравнения расстояний: \[ s_1 = v_1 (t + 0.5) \] \[ s_2 = v_2 t \] Так как (s_1 = s_2), то: \[ 51(t + 0.5) = 68t \] \[ 51t + 25.5 = 68t \] \[ 17t = 25.5 \] \[ t = \frac{25.5}{17} = 1.5 \,\text{часа} \] Теперь найдем расстояние, которое проедет вторая машина за это время: \[ s = v_2 t = 68 \cdot 1.5 = 102 \,\text{км} \] Ответ: Вторая машина догонит первую через 1.5 часа. Расстояние, которое проедет вторая машина к этому времени, составит 102 км.