30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.

Обозначим окружность с центром O. Пусть из точки A на окружности проведены хорды AB и AC, перпендикулярные друг другу. Расстояние от центра O до хорды AB равно 6 см, а расстояние от центра O до хорды AC равно 10 см.

Пусть M - середина AB, N - середина AC. Тогда OM перпендикулярно AB, ON перпендикулярно AC. OM = 6 см, ON = 10 см. Так как AB и AC перпендикулярны, то AMON - прямоугольник. В прямоугольнике AMON: ∠MON = 90°, OM = 6, ON = 10

По теореме Пифагора для треугольника MON: $$MN^2 = OM^2 + ON^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$$ MN = \(\sqrt{136}\). Радиус окружности R можно найти как половину диагонали BC: $$R = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\cdot2MN = MN= \sqrt{136}$$.

Обозначим длину хорды AB как x, длину хорды AC как y. Тогда AM = x/2, AN = y/2. В прямоугольном треугольнике AMO: $$AO^2 = AM^2 + OM^2, R^2 = (x/2)^2 + 6^2$$В прямоугольном треугольнике ANO: $$AO^2 = AN^2 + ON^2, R^2 = (y/2)^2 + 10^2$$Так как R = \(\sqrt{136}\), то $$136 = (x/2)^2 + 36, (x/2)^2 = 100, x/2 = 10, x = 20$$$$136 = (y/2)^2 + 100, (y/2)^2 = 36, y/2 = 6, y = 12$$Таким образом, длины хорд равны 20 см и 12 см.

Ответ: 20 см и 12 см.