Из пункта А в направлении пункта В выехал первый велосипедист со скоростью \( 12\frac{2}{3} \) км/ч. Одновременно из пункта В в том же направлении выехал второй велосипедист, скорость которого в \( 1\frac{16}{41} \) раза меньше скорости первого. Через сколько часов после начала движения первый велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктами А и В равно 8 км?

Решение:

Дано:

• Скорость первого велосипедиста (v₁): \( 12\frac{2}{3} \) км/ч
• Скорость второго велосипедиста (v₂) в \( 1\frac{16}{41} \) раза меньше скорости первого.
• Расстояние между пунктами А и В (S): 8 км

Найти: Время (t), через которое первый велосипедист догонит второго.

1. Переведем скорость первого велосипедиста в неправильную дробь:
2. \( v₁ = 12\frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{36 + 2}{3} = \frac{38}{3} \) км/ч
3. Найдем скорость второго велосипедиста:
4. \( v₂ = v₁ : 1\frac{16}{41} \)
5. Переведем \( 1\frac{16}{41} \) в неправильную дробь: \( 1\frac{16}{41} = \frac{1 \cdot 41 + 16}{41} = \frac{41 + 16}{41} = \frac{57}{41} \)
6. \( v₂ = \frac{38}{3} : \frac{57}{41} = \frac{38}{3} \cdot \frac{41}{57} \)
7. Сократим дроби. Заметим, что 38 = 2 * 19 и 57 = 3 * 19.
8. \( v₂ = \frac{2 \cdot 19}{3} \cdot \frac{41}{3 \cdot 19} = \frac{2 \cdot 41}{3 \cdot 3} = \frac{82}{9} \) км/ч
9. Найдем разницу скоростей (скорость сближения):
10. \( v_{сближения} = v₁ - v₂ = \frac{38}{3} - \frac{82}{9} \)
11. Приведем к общему знаменателю 9: \( \frac{38 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{82}{9} = \frac{114}{9} - \frac{82}{9} = \frac{114 - 82}{9} = \frac{32}{9} \) км/ч
12. Время, через которое первый догонит второго, равно расстоянию между ними, деленному на скорость сближения:
13. \( t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{8}{\frac{32}{9}} \)
14. \( t = 8 \cdot \frac{9}{32} = \frac{8 \cdot 9}{32} \)
15. Сократим: \( \frac{1 \cdot 9}{4} = \frac{9}{4} \) часа
16. Переведем в смешанную дробь: \( \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} \) часа.
17. \( 2\frac{1}{4} \) часа = 2 часа 15 минут.

Ответ: Первый велосипедист догонит второго через \( 2\frac{1}{4} \) часа (или 2 часа 15 минут).