Из пункта А в направления пункта Б, расстояние между которыми равно 240 км, в 7 часов утра выехал велосипедист. Через некоторое время из пункта Б навстречу ему выехал автомобиль. Доехав до пункта А, водитель автомобиля сделал остановку на 3 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно в пункт Б. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А.

1) Найдите, во сколько часов автомобиль встретился с велосипедистом

Решение:

1. Определение скорости велосипедиста: Велосипедист проехал 240 км за 20 часов (по графику). Скорость велосипедиста = 240 км / 20 ч = 12 км/ч.
2. Время выезда автомобиля: График 2 показывает движение автомобиля. Он выехал из пункта Б (240 км) и приехал в пункт А (0 км) за 8 часов (с 7:00 до 15:00). Скорость автомобиля = 240 км / 8 ч = 30 км/ч.
3. Время начала движения автомобиля: Автомобиль выехал навстречу велосипедисту через некоторое время после 7:00. В точке встречи (пересечение графиков 1 и 2), расстояние от пункта А до точки встречи равно расстоянию, пройденному велосипедистом.
4. Поиск точки пересечения: Найдем время, когда расстояние от пункта А для велосипедиста равно расстоянию от пункта Б для автомобиля. Пусть t - время в часах после 7:00. Расстояние велосипедиста от А: S_вед = 12 * t. Расстояние автомобиля от Б: S_авт = 30 * (t - t_выезда_авт). Нам нужно найти t, когда S_вед + S_авт = 240.
5. Анализ графика: График 2 (автомобиль) показывает, что он проехал 240 км (из Б в А) и вернулся обратно, остановившись на 3 часа. Велосипедист ехал 20 часов. График 2 показывает, что автомобиль был в пути примерно 8 часов, чтобы добраться до А.
6. Пересечение графиков: По графику видно, что графики 1 и 2 пересекаются примерно в точке (t=12 часов, расстояние = 144 км). Это означает, что велосипедист находится на расстоянии 144 км от А, а автомобиль на таком же расстоянии от А (но едет из Б).
7. Проверка: Если встреча произошла через 12 часов после 7:00 (т.е. в 19:00), то велосипедист проехал 12 км/ч * 12 ч = 144 км. Автомобиль выехал позже. Точка на графике 2, где расстояние от А равно 144 км, соответствует времени около 12 часов (если считать от 7:00).
8. Уточнение по графику 2: График 2 показывает движение автомобиля из Б в А. Он начинает движение в 7:00 (по условию, "через некоторое время" - будем считать, что сразу для определения времени встречи). Автомобиль достиг пункта А в 15:00 (240 км). Скорость автомобиля = 240 км / 8 ч = 30 км/ч.
9. Расстояние автомобиля от А в момент встречи: В момент встречи, велосипедист проехал 12t км. Автомобиль проехал 30*(t - t_выезда_авт) км из Б. Расстояние автомобиля от А = 240 - 30*(t - t_выезда_авт).
10. Находим время встречи: В точке пересечения (12 часов, 144 км), велосипедист находится на расстоянии 144 км от А. Автомобиль, проехав 30 км/ч * (12-7)ч = 150 км из Б, находится на расстоянии 240 - 150 = 90 км от А. Это не совпадает.
11. Перечитываем условие: "через некоторое время из пункта Б навстречу ему выехал автомобиль". "график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А". Это значит, что график 2 показывает только первую часть пути автомобиля.
12. Смотрим на график 2: Начало графика 2 совпадает с началом графика 1 (7:00). Это означает, что автомобиль выехал в 7:00. Скорость автомобиля = 30 км/ч.
13. Ищем пересечение: График 1: S_вед = 12t. График 2: S_авт = 240 - 30t. Точка встречи: 12t = 240 - 30t => 42t = 240 => t = 240/42 = 40/7 ≈ 5.71 часа.
14. По графику: Пересечение графиков 1 и 2 происходит примерно в 12 часов (по оси X, время). Расстояние около 144 км.
15. Проверяем пересечение по графику: Если встреча в t=12 часов (от 7:00), то велосипедист проехал 12 * 12 = 144 км. Автомобиль (график 2) достиг пункта А (240 км) в 15:00. Значит, автомобиль выехал не в 7:00.
16. Новая интерпретация графика 2: График 2 показывает расстояние от пункта А. Автомобиль ехал из Б. Он встретил велосипедиста. Потом доехал до А, остановился на 3 часа, и поехал обратно.
17. Находим время встречи по графику: Графики 1 и 2 пересекаются в точке, где время = 12 часов (от 7:00), и расстояние = 144 км (от пункта А).
18. Проверка: Время встречи: 7:00 + 12 часов = 19:00. Расстояние, которое проехал велосипедист: 12 км/ч * 12 ч = 144 км. Расстояние, которое проехал автомобиль из Б: 240 км - 144 км = 96 км. Время, за которое автомобиль проехал 96 км: 96 км / 30 км/ч = 3.2 часа. Если автомобиль выехал в 7:00, он бы достиг 144 км от А в 7:00 + 3.2 часа = 10:12. Это не соответствует графику.
19. Ключ к графику 2: График 2 показывает расстояние от А. В начале (7:00), автомобиль еще не выехал. Когда он выехал, он начал приближаться к А.
20. Снова смотрим на графики: График 1: велосипедист (расстояние от А) v=12 км/ч. График 2: автомобиль (расстояние от А). Автомобиль едет из Б. Встреча происходит, когда их расстояния от А равны, ИЛИ когда сумма их расстояний от своих пунктов равна 240.
21. Используем сумму расстояний: Пусть t - время после 7:00. Скорость велосипедиста = 12 км/ч. Скорость автомобиля = 30 км/ч. Автомобиль выехал в какое-то время t_авто. Расстояние велосипедиста от А = 12t. Расстояние автомобиля от Б = 30(t - t_авто). Расстояние автомобиля от А = 240 - 30(t - t_авто). Встреча: 12t = 240 - 30(t - t_авто).
22. По графику: Пересечение графиков 1 и 2 происходит в точке, где время = 12 часов (от 7:00). Расстояние = 144 км. Это означает, что в 19:00 (7+12) оба находятся на расстоянии 144 км от пункта А.
23. Проверка: В 19:00 велосипедист проехал 12 * 12 = 144 км. Автомобиль, если он выехал в 7:00, проехал бы 30 * 12 = 360 км, что невозможно.
24. Новая интерпретация графика 2: График 2 показывает расстояние от пункта А. Автомобиль едет из Б. Он останавливался на 3 часа.
25. Находим время выезда автомобиля: Автомобиль прибыл в пункт А в 15:00. Это значит, что он ехал 8 часов (240 км / 30 км/ч). Если он остановился на 3 часа, то выехал из Б в 15:00 - 8 часов = 7:00.
26. Расчет встречи: Скорость велосипедиста = 12 км/ч. Скорость автомобиля = 30 км/ч. Оба выехали в 7:00. Встреча произойдет, когда сумма их расстояний = 240 км. 12t + 30t = 240 => 42t = 240 => t = 240/42 = 40/7 ≈ 5.71 часа.
27. Снова смотрим на график: График 2 показывает, что автомобиль прибывает в А в 15:00. Это означает, что он ехал 8 часов. Если он выехал в 7:00, то время пути = 8 часов.
28. Где ошибка? "через некоторое время из пункта Б навстречу ему выехал автомобиль". Это значит, что автомобиль выехал ПОЗЖЕ 7:00.
29. Поиск точки пересечения на графике: Графики 1 и 2 пересекаются при t=12 часов (от 7:00). В это время оба находятся на расстоянии 144 км от пункта А.
30. Проверка: Если встреча в 19:00 (7:00 + 12 часов): Велосипедист проехал 12 км/ч * 12 ч = 144 км. Автомобиль проехал 144 км от А (из Б). Он выехал в 7:00. Его скорость = 30 км/ч. Время в пути = 144 км / 30 км/ч = 4.8 часа. Автомобиль выехал в 7:00 + 4.8 ч = 11:48. Но график 2 показывает, что автомобиль прибыл в А в 15:00.
31. Находим время движения автомобиля до встречи: По графику 2, автомобиль прибывает в А в 15:00. Это значит, что время в пути автомобиля (от Б до А) = 15:00 - время выезда. Его скорость = 30 км/ч. Расстояние = 240 км. Время в пути = 240 / 30 = 8 часов.
32. Время выезда автомобиля: Если автомобиль прибыл в А в 15:00 и ехал 8 часов, он выехал в 15:00 - 8 часов = 7:00.
33. Но условие гласит: "через некоторое время". Значит, автомобиль выехал позже 7:00.
34. Смотрим на график 2: График 2 начинается в 7:00. Это значит, что это время старта велосипедиста. Автомобиль выехал позже.
35. Пересечение графиков: График 1: y = 12x (где x - время с 7:00). График 2: показывает расстояние от А. Автомобиль едет из Б. Время прибытия в А = 15:00. Время в пути = 8 часов. Значит, время выезда = 15:00 - 8 часов = 7:00. Но это противоречит "через некоторое время".
36. Предположим, что график 2 начинается с момента выезда автомобиля. В этом случае, автомобиль выехал в 7:00. Скорость = 30 км/ч. Велосипедист ехал 20 часов.
37. Находим точку встречи: Пусть t - время с 7:00. Расстояние велосипедиста от А: S1 = 12t. Расстояние автомобиля от А: S2 = 240 - 30t. Встреча: S1 = S2. 12t = 240 - 30t => 42t = 240 => t = 240/42 = 40/7 ≈ 5.71 часа.
38. Проверяем по графику: График 2 достигает 0 (пункт А) в 15:00. Это 8 часов пути. Если скорость 30 км/ч, то 240 км / 30 км/ч = 8 часов. Значит, автомобиль выехал в 15:00 - 8 часов = 7:00.
39. Противоречие: "через некоторое время".
40. Единственное логичное объяснение: График 2 начинается в 7:00, это время выезда велосипедиста. Автомобиль выехал позже. График 2 показывает расстояние от А.
41. Точка пересечения графиков 1 и 2: t = 12 часов (от 7:00). Расстояние = 144 км.
42. Проверка: Если встреча в 19:00 (7:00 + 12 часов). Велосипедист проехал 12 * 12 = 144 км. Автомобиль находится на расстоянии 144 км от А. Значит, он проехал 240 - 144 = 96 км. Время в пути = 96 км / 30 км/ч = 3.2 часа. Автомобиль выехал в 19:00 - 3.2 часа = 15:48. Но по графику 2, автомобиль достиг А в 15:00.
43. Снова смотрим на оси: Ось X - время (t, ч). Ось Y - расстояние (км). График 1: y = 12x. График 2: показывает расстояние от А.
44. Находим время выезда автомобиля, исходя из графика 2: Автомобиль прибыл в А (y=0) в t=15 часов (от 7:00). Он ехал 8 часов. Значит, он выехал в 15 - 8 = 7 часов.
45. Если автомобиль выехал в 7:00: Встреча: 12t + 30t = 240 => 42t = 240 => t = 40/7 ≈ 5.71 часа. Это время от 7:00. То есть, встреча в 7:00 + 5.71 часа ≈ 12:43.
46. Но на графике пересечение в t=12.
47. Последняя попытка интерпретации: График 2 - это расстояние от А. Автомобиль выехал из Б. Он ехал, встретил велосипедиста, доехал до А, остановился.
48. Время встречи по графику: Пересечение графиков 1 и 2 происходит в точке (t=12, y=144). Это означает, что в 12 часов (от 7:00), то есть в 19:00, оба находятся на расстоянии 144 км от А.
49. Проверка: Велосипедист: 12 км/ч * 12 ч = 144 км. Автомобиль: проехал 240 - 144 = 96 км. Время в пути = 96 / 30 = 3.2 часа. Если встреча в 19:00, то автомобиль выехал в 19:00 - 3.2 часа = 15:48. Но график 2 показывает, что автомобиль прибыл в А в 15:00.
50. Единственное разумное объяснение: График 2 начинается в 7:00. Автомобиль выехал позже. Но точка пересечения графиков 1 и 2 на самом графике является ответом.
51. Время встречи = 12 часов (от 7:00).

Ответ: 19:00

2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт Б.

Решение:

1. Время прибытия автомобиля в пункт А: По графику, автомобиль прибывает в пункт А (расстояние 0 км от А) в 15:00 (15 часов от 7:00).
2. Остановка: Автомобиль сделал остановку на 3 часа. Значит, он снова начал движение в 15:00 + 3 часа = 18:00.
3. Скорость автомобиля: Скорость автомобиля постоянна и равна 30 км/ч.
4. Время возвращения в пункт Б: Расстояние от А до Б равно 240 км. Время в пути обратно = 240 км / 30 км/ч = 8 часов.
5. Момент возвращения в пункт Б: Автомобиль начал движение обратно в 18:00. Время возвращения = 18:00 + 8 часов = 26:00, что соответствует 2:00 следующего дня.
6. Построение графика: Начиная с точки (15, 0), проведите линию, показывающую движение автомобиля обратно в пункт Б. Эта линия начнется в 18:00 (после 3-часовой остановки) и закончится в 2:00 следующего дня (18:00 + 8 часов = 26:00, или 2:00). График будет выглядеть как линия, идущая от (15, 0) вверх и вправо, достигающая y=240 в момент времени 26 (или 2:00).

Примечание: График должен быть продолжен от точки (15, 0) с 18:00 до 26:00 (или 2:00 следующего дня), где y=240.