Из стандартной колоды в 36 карт выкинули все карты пиковой, трефовой и червовой масти. Из оставшихся девяти карт наугад вытягивают одну карту, а затем ещё одну карту. Найдите вероятность того, что вторая вытянутая карта будет старше первой.

Решение:

В стандартной колоде 36 карт. Масти: пики, трефы, червы, бубны. В каждой масти 9 карт (от 2 до 10, валет, дама, король, туз).

Выкинули все карты пиковой, трефовой и червовой масти. Осталась только бубновая масть.

В колоде остались 9 карт бубновой масти.

Карты в масти идут в порядке старшинства: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Валет (J), Дама (Q), Король (K), Туз (A).

Условные обозначения старшинства карт (от младшей к старшей): \( 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < J < Q < K < A \).

Из оставшихся 9 карт (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) наугад вытягивают одну карту, а затем ещё одну карту без возвращения.

Рассмотрим все возможные пары карт, которые могут быть вытянуты. Общее количество исходов — это число размещений из 9 по 2:

\[ A_9^2 = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = 9 \times 8 = 72 \]

Нас интересует событие, когда вторая вытянутая карта старше первой.

Рассмотрим случаи:

1. Первая карта — 2, вторая — любая из оставшихся (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Количество таких пар: \( 1 \times 7 = 7 \).
2. Первая карта — 3, вторая — любая из оставшихся (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Количество таких пар: \( 1 \times 6 = 6 \).
3. Первая карта — 4, вторая — любая из оставшихся (5, 6, 7, 8, 9, 10). Количество таких пар: \( 1 \times 5 = 5 \).
4. Первая карта — 5, вторая — любая из оставшихся (6, 7, 8, 9, 10). Количество таких пар: \( 1 \times 4 = 4 \).
5. Первая карта — 6, вторая — любая из оставшихся (7, 8, 9, 10). Количество таких пар: \( 1 \times 3 = 3 \).
6. Первая карта — 7, вторая — любая из оставшихся (8, 9, 10). Количество таких пар: \( 1 \times 2 = 2 \).
7. Первая карта — 8, вторая — 9 или 10. Количество таких пар: \( 1 \times 2 = 2 \).
8. Первая карта — 9, вторая — 10. Количество таких пар: \( 1 \times 1 = 1 \).

Примечание: если первая карта — 10, то второй карты, которая будет старше, нет.

Общее количество благоприятных исходов (вторая карта старше первой):

\( 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 = 30 \).

Вероятность того, что вторая вытянутая карта будет старше первой:

\[ P(\text{вторая старше первой}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{30}{72} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{30}{72} = \frac{5 \times 6}{12 \times 6} = \frac{5}{12} \]

Ответ: \( \frac{5}{12} \)