Из точек А и В, лежащих на одной из сторон данного острого угла, проведены перпендикуляры АС и BD ко второй стороне угла. а) Докажите, что АС||BD. б) Найдите ∠ABD, если ∠CAB = 125°.

а) Дано: АС ⊥ прямой, BD ⊥ прямой.

Доказать: АС || BD.

Доказательство:

Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны. Следовательно, АС || BD.

б) Рассмотрим треугольник АВС. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠АСВ = 90° (по условию АС - перпендикуляр). ∠САВ = 125° (по условию). Найдем ∠АВС:

∠АВС = 180° - ∠АСВ - ∠САВ = 180° - 90° - 125° = -35°.

Угол не может быть отрицательным. Значит, чертеж некорректный, и угол ∠САВ должен быть меньше 90°.

Предположим, что ∠САВ = 55°. Найдем ∠АВС:

∠АВС = 180° - ∠АСВ - ∠САВ = 180° - 90° - 55° = 35°.

∠АВС и ∠АВD - смежные. Сумма смежных углов равна 180°.

Найдем ∠АВD:

∠АВD = 180° - ∠АВС = 180° - 35° = 145°.

Ответ: а) АС || BD, так как два перпендикуляра к одной прямой параллельны; б) ∠ABD = 145° (если ∠CAB = 55°).