Из точек А и В, лежащих на одной из сторон данного острого угла с вершиной О, проведены перпендикуляры АС и BD ко второй стороне угла. а) Найдите ∠ABD, если ∠CAB = 130°. б) Используя дополнитель- ное построение, найдите угол АОС.

а) По условию, $$∠CAB = 130°$$. Рассмотрим четырехугольник $$ACBD$$. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. $$∠ACB = ∠ADB = 90°$$, так как по условию $$AC$$ и $$BD$$ - перпендикуляры к стороне угла $$O$$. $$∠CAB + ∠ACB + ∠ADB + ∠ABD = 360°$$. Тогда $$∠ABD = 360° - (∠CAB + ∠ACB + ∠ADB) = 360° - (130° + 90° + 90°) = 360° - 310° = 50°$$.

б) Для решения данной задачи необходимо построить чертеж.

      B
      |\
      | \   A
      |  \ /
      |   O
  D---C

По условию задачи, $$∠CAB = 130°$$. Обозначим угол $$AOC$$ за $$x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOC$$ угол $$ACO = 90°$$. $$∠CAO = ∠CAB - ∠OAB = 130° - ∠OAB$$. Тогда угол $$AOC = 180° - (∠ACO + ∠CAO) = 180° - (90° + 130° - ∠OAB) = 180° - 220° + ∠OAB = ∠OAB - 40°$$. Для решения задачи нужно знать градусную меру угла $$OAB$$.

Ответ: а) 50°; б) недостаточно данных