Из точек С и D, лежащих на одной из сторон данного острого угла, проведены перпендикуляры К этой стороне, пересекающие вто- рую сторону угла в точках А и В соответственно. а) Докажите, что АС||BD. б) Найдите ∠САВ, если LABD = 55°.

Решение:

а) Докажем, что AC || BD.

Так как AC и BD перпендикулярны к одной и той же стороне угла (по условию), то они параллельны между собой. Это следует из теоремы о двух прямых, перпендикулярных третьей прямой: если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

б) Найдем ∠CAB, если ∠ABD = 55°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике ∠ADB = 90°, а ∠ABD = 55°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠ABD = 180° - 90° - 55° = 35°\]

Так как AC || BD, углы ∠CAB и ∠ABD являются соответственными углами при параллельных прямых AC и BD и секущей AB. Соответственные углы равны, следовательно:

\[∠CAB = ∠ABD = 55°\]

Итого:

\[∠CAB = 35°\]

Проверка за 10 секунд: AC || BD (оба перпендикулярны к общей стороне), ∠CAB = 35°.

Доп. профит: Параллельные прямые + секущая = куча равных углов (накрест лежащие, соответственные).