4. Из точки А к окружности центром О проведены касательные АВ и АС (С и — точки касания). Найти длины отрезков АВ АС, если / ВАС = 90°, АО - 10 см.

4.1. Поскольку AB и AC - касательные к окружности, то углы ABO и ACO прямые (90°). Так как \(\angle BAC = 90^{\circ}\), то четырехугольник ABOC - квадрат, а значит AB = AC.

4.2. Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, AO - гипотенуза, AB - катет, OB - радиус окружности.

Пусть AB = x. Тогда, по теореме Пифагора: \(AO^2 = AB^2 + BO^2\). Радиус OB равен OC, т.к. это радиусы одной и той же окружности. Значит OB = OC.

4.3. Так как углы ABO и ACO прямые (90°) и угол BAC равен 90°, то угол BOC равен 90°.

4.4. Так как OB = OC и угол BOC равен 90°, то треугольник BOC - прямоугольный и равнобедренный. Значит, BO = OC = AB = AC.

4.5. \(AO^2 = AB^2 + BO^2\), и AO = 10 см. Значит, \(10^2 = x^2 + x^2\), \(100 = 2x^2\), \(x^2 = 50\), \(x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

Ответ: \(AB = AC = 5\sqrt{2}\) см.