Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окруж- ности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Рассмотрим рисунок.

      A
      /\
     /  \
    /    \
   /      \
  /        \
 O----------B
  \        /
   \      /
    \    /
     \  /
      \/
       C

Пусть касательные из точки А касаются окружности в точках B и C. Тогда AO - биссектриса угла BAC. Угол BAC равен 60°, следовательно, угол BAO равен 30°. OB - радиус окружности, и OB перпендикулярна касательной AB. Таким образом, треугольник BAO - прямоугольный, с углом BAO равным 30°. Расстояние AO равно 8. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В данном случае OB - катет, лежащий против угла BAO, а AO - гипотенуза. Тогда:

$$OB = \frac{1}{2}AO$$ $$OB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$$

Радиус окружности равен 4.

Ответ: 4