2. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 8.

Дано: Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Угол между касательными равен 60°. Расстояние от точки A до точки O равно 8. Нужно найти радиус окружности. Решение: 1. Пусть B и C – точки касания. Тогда $$\angle BAO = \angle CAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$. 2. $$\triangle ABO$$ – прямоугольный, так как $$OB$$ – радиус, проведенный в точку касания. Следовательно, $$OB \perp AB$$. 3. $$\sin(\angle BAO) = \frac{OB}{AO}$$. Тогда $$OB = AO \cdot \sin(\angle BAO) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$. Ответ: 4