5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

Пусть $$d$$ - расстояние от точки до прямой. Пусть длины наклонных равны $$l_1 = 13$$ см и $$l_2 = 15$$ см, а разность проекций равна 4 см. Обозначим проекции наклонных на прямую как $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда $$x_2 - x_1 = 4$$ или $$x_2 = x_1 + 4$$. По теореме Пифагора для обеих наклонных имеем: $$d^2 + x_1^2 = l_1^2 Rightarrow d^2 + x_1^2 = 13^2 = 169$$ $$d^2 + x_2^2 = l_2^2 Rightarrow d^2 + (x_1 + 4)^2 = 15^2 = 225$$ Вычитаем первое уравнение из второго: $$(x_1 + 4)^2 - x_1^2 = 225 - 169$$ $$x_1^2 + 8x_1 + 16 - x_1^2 = 56$$ $$8x_1 = 56 - 16 = 40$$ $$x_1 = \frac{40}{8} = 5$$ Теперь подставим значение $$x_1$$ в первое уравнение: $$d^2 + 5^2 = 169$$ $$d^2 + 25 = 169$$ $$d^2 = 169 - 25 = 144$$ $$d = \sqrt{144} = 12$$ Таким образом, расстояние от точки до прямой равно **12 см**.