4. Высота $$AK$$ остроугольного равнобедренного треугольника $$ABC$$ ($$AB = BC$$) равна 12 см, а $$KB = 9$$ см. Найдите основание треугольника $$ABC$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ ($$AB = BC$$) высота $$AK = 12$$ см, и $$KB = 9$$ см. Поскольку высота $$AK$$ проведена к боковой стороне $$BC$$, то рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKB$$. Найдем сторону $$AB$$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AK^2 + KB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$ $$AB = \sqrt{225} = 15$$ Так как $$AB = BC$$, то $$BC = 15$$ см. Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$M$$ - основание высоты, проведенной из вершины $$B$$ к основанию $$AC$$. Тогда $$AM = MC = x$$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, значит, $$M$$ - середина $$AC$$. Если опустить высоту $$BH$$ на основание $$AC$$, то $$H$$ будет серединой $$AC$$, значит, $$AH = HC$$. Необходимо найти $$AC$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKC$$. В нём $$AK = 12$$, $$BC = 15$$, $$BK = 9$$. Поэтому $$KC = BC - BK = 15-9 = 6$$ $$AC^2 = AK^2 + KC^2 $$ $$AC = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 * 5} = 6\sqrt{5}$$ Таким образом, основание треугольника $$ABC$$ равно $$6\sqrt{5}$$ см.