5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

Пусть из точки A к прямой проведены две наклонные AB и AC, длины которых равны 13 см и 15 см соответственно. Пусть B и C - основания этих наклонных на прямой, а H - основание перпендикуляра AH, проведенного из точки A к этой прямой. Пусть разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см, то есть |HC - HB| = 4 см. Нужно найти расстояние AH от точки A до прямой.

Пусть HB = x см, тогда HC = x + 4 см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: AHB и AHC. Применим теорему Пифагора к каждому из них:

$$AH^2 + HB^2 = AB^2$$ $$AH^2 + x^2 = 13^2$$ $$AH^2 + x^2 = 169$$ $$AH^2 = 169 - x^2$$

$$AH^2 + HC^2 = AC^2$$ $$AH^2 + (x+4)^2 = 15^2$$ $$AH^2 + x^2 + 8x + 16 = 225$$ $$AH^2 = 225 - x^2 - 8x - 16$$ $$AH^2 = 209 - x^2 - 8x$$

Приравняем выражения для AH^2:

$$169 - x^2 = 209 - x^2 - 8x$$ $$8x = 209 - 169$$ $$8x = 40$$ $$x = 5$$

Теперь найдем AH:

$$AH^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$ $$AH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Ответ: 12 см