4. Высота АК остроугольного равнобедренного треуголь- ника АВС (АВ = ВС) равна 12 см, а КВ = 9 см. Найди- те основание треугольника АВС.

Рассмотрим остроугольный равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, AK - высота, AK = 12 см, KB = 9 см. Необходимо найти основание AC.

Высота AK является перпендикуляром к стороне BC, следовательно, треугольник AKB - прямоугольный. Применим теорему Пифагора к треугольнику AKB:

$$ AB^2 = AK^2 + KB^2 $$ $$ AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 $$ $$ AB = \sqrt{225} = 15 \text{ см} $$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = 15 см.

Рассмотрим треугольник ABC. Высота, проведенная из вершины B к основанию AC, является также медианой. Обозначим точку пересечения высоты с основанием AC за H, тогда AH = HC, и BH перпендикулярно AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, где BC = 15 см. Необходимо найти HC, чтобы затем найти AC = 2HC.

Так как AK - высота, проведенная к боковой стороне BC, она не совпадает с высотой, проведенной к основанию AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB, в котором известны катеты AK = 12 см и KB = 9 см. Гипотенуза AB = 15 см. Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения основания на высоту: S = (1/2) * BC * AK = (1/2) * 15 * 12 = 90 кв.см.

Площадь треугольника ABC также можно найти как S = (1/2) * AC * BH. Применим теорему Пифагора к треугольнику BHC: $$BH^2 + HC^2 = BC^2$$

Выразим BH через площадь: BH = 2S / AC = 180 / AC. Тогда $$(\frac{180}{AC})^2 + HC^2 = 15^2$$ $$(\frac{180}{AC})^2 + (\frac{AC}{2})^2 = 225$$

Пусть AC = x, тогда $$\frac{32400}{x^2} + \frac{x^2}{4} = 225$$ Умножим обе части на 4x^2: $$129600 + x^4 = 900x^2$$ $$x^4 - 900x^2 + 129600 = 0$$

Пусть y = x^2, тогда $$y^2 - 900y + 129600 = 0$$ $$D = (-900)^2 - 4 * 129600 = 810000 - 518400 = 291600$$ $$\sqrt{D} = 540$$

$$y_1 = \frac{900 + 540}{2} = \frac{1440}{2} = 720$$ $$y_2 = \frac{900 - 540}{2} = \frac{360}{2} = 180$$

$$x_1 = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} ≈ 26.83 \text{ см}$$ $$x_2 = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} ≈ 13.42 \text{ см}$$

Проверим:

Если $$AC = 6\sqrt{5}$$

$$BH = \frac{180}{6\sqrt{5}} = \frac{30}{\sqrt{5}} = 6\sqrt{5}$$

$$HC = 3\sqrt{5}$$

$$(6\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 36*5 + 9*5 = 180 + 45 = 225$$

Если $$AC = 12\sqrt{5}$$

$$BH = \frac{180}{12\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$$

$$HC = 6\sqrt{5}$$

$$(3\sqrt{5})^2 + (6\sqrt{5})^2 = 9*5 + 36*5 = 45 + 180 = 225$$

Треугольник остроугольный, значит высота должна лежать внутри треугольника. А точка K должна лежать на стороне BC.

Оба корня подходят. Так как треугольник остроугольный, то угол ABC должен быть острым, то есть меньше 90 градусов.

Вывод: $$AC = 6\sqrt{5} \text{ см} \approx 13.42 \text{ см}$$ или $$AC = 12\sqrt{5} \text{ см} \approx 26.83 \text{ см}$$

Ответ: $$6\sqrt{5} \text{ см}$$ или $$12\sqrt{5} \text{ см}$$