6. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Окружность касается боковой стороны AB в точке K, при этом AK = 2 см, KB = 32 см. Нужно найти высоту трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

Так как трапеция равнобокая, AB = CD, поэтому 2AB = BC + AD.

Из условия AK = 2 см, KB = 32 см, тогда AB = AK + KB = 2 + 32 = 34 см.

Следовательно, 2 * 34 = BC + AD, значит, BC + AD = 68 см.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

В равнобокой трапеции, описанной около окружности, высота равна среднему геометрическому отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону:

$$h = \sqrt{AK \cdot KB} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8 см