Из точки M(0; −4) проведены две касательные к параболе y = x². Составьте их уравнения и найдите угол между ними.

Пусть угловой коэффициент касательной равен k. Поскольку она проходит через M(0; −4), её уравнение имеет вид y = kx − 4.

Точка касания удовлетворяет уравнению x² = kx − 4. Чтобы прямая касалась параболы, это квадратное уравнение должно иметь один корень:

k² − 16 = 0, откуда k = 4 или k = −4.

Значит, касательные: y = 4x − 4 и y = −4x − 4.

Для угла θ между прямыми используем формулу тангенса угла между ними:

tan θ = |(4 − (−4))/(1 + 4 · (−4))| = 8/15.

Ответ: y = 4x − 4 и y = −4x − 4; меньший угол между ними равен arctan(8/15) ≈ 28,1°.