Найдите все значения параметра a, при которых прямая y = −2x + a касается графика функции f(x) = x³ − 5x + 2.

В точке касания x = t значения функции и прямой совпадают, а их производные равны.

f′(x) = 3x² − 5. Приравниваем производную к угловому коэффициенту прямой −2:

3t² − 5 = −2, поэтому t² = 1 и t = 1 или t = −1.

Из равенства f(t) = −2t + a получаем a = t³ − 3t + 2.

При t = 1: a = 0. При t = −1: a = 4.

Ответ: a = 0 или a = 4.