Найдите уравнения общих касательных к двум параболам: y = x² + 4 и y = −x² + 2x − 3.

Запишем общую касательную в виде y = mx + b.

Для касания к первой параболе уравнение пересечения x² + 4 = mx + b должно иметь единственный корень. Условие нулевого дискриминанта даёт b = 4 − m²/4.

Для второй параболы уравнение −x² + 2x − 3 = mx + b также должно иметь единственный корень. Условие нулевого дискриминанта даёт b = (m − 2)²/4 − 3.

Приравняем выражения для b:

4 − m²/4 = (m − 2)²/4 − 3, откуда m² − 2m − 12 = 0.

Следовательно, m = 1 ± √13. Подстановка в b = 4 − m²/4 даёт соответствующие значения b = (1 ∓ √13)/2.

Ответ: y = (1 + √13)x + (1 − √13)/2 и y = (1 − √13)x + (1 + √13)/2.