17) Из точки M к окружности с центром O и радиусом, равным 4, проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания, если \(\angle AOB = 120^\circ\).

Решение: 1. Так как MA и MB - касательные к окружности, то \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\). 2. Рассмотрим четырехугольник MAOB. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). 3. Рассмотрим треугольники \(\triangle OAM\) и \(\triangle OBM\). Они равны по катету (OA = OB = r) и гипотенузе (OM - общая). Значит, \(\angle AMO = \angle BMO = \frac{1}{2} \angle AMB = 30^\circ\). 4. В \(\triangle OAM\) известно: \(\angle OAM = 90^\circ\), \(\angle AMO = 30^\circ\), OA = 4. Найдем OM: \(\sin(\angle AMO) = \frac{OA}{OM}\), следовательно, \(OM = \frac{OA}{\sin(\angle AMO)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{0.5} = 8\). 5. Рассмотрим \(\triangle AOK\), где K - середина AB. Тогда \(\angle AOK = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ\). 6. В \(\triangle AOK\) известно: OA = 4, \(\angle AOK = 60^\circ\), \(\angle AKO = 90^\circ\). Найдем AK: \(\sin(\angle AOK) = \frac{AK}{OA}\), следовательно, \(AK = OA \cdot \sin(\angle AOK) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\). 7. AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}. Ответ: \(4\sqrt{3}\)