Из точки M к плоскости α проведены две наклонные, длины которых относятся как 13 : 15. Их проекции на эту плоскость равны 10 см и 18 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости α.

Пусть MH - перпендикуляр к плоскости α (искомое расстояние), MD и MK - наклонные, DH и KH - проекции наклонных на плоскость α. Тогда MD : MK = 13 : 15 и DH = 10 см, KH = 18 см.

Обозначим MH = x. Рассмотрим прямоугольные треугольники MDH и MKH. По теореме Пифагора:

$$MD^2 = MH^2 + DH^2$$Выразим MD и MK через заданное отношение:

$$MD = 13y, MK = 15y$$

Тогда:

$$(13y)^2 = x^2 + 10^2$$Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 169y^2 = x^2 + 100 \\ 225y^2 = x^2 + 324 \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$225y^2 - 169y^2 = x^2 + 324 - (x^2 + 100)$$ $$56y^2 = 224$$ $$y^2 = 4$$ $$y = 2$$

Подставим y = 2 в первое уравнение:

$$169 * 4 = x^2 + 100$$ $$676 = x^2 + 100$$ $$x^2 = 576$$ $$x = \sqrt{576} = 24$$

Следовательно, расстояние от точки M до плоскости α равно 24 см.

Ответ: 24 см