Расстояние от точки M до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см.

Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Тогда AO, BO и CO равны между собой и являются радиусами описанной окружности около треугольника ABC.

Так как ABC – правильный треугольник со стороной 6 см, то радиус описанной окружности можно найти по формуле:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$, где *a* – сторона треугольника.

Таким образом, AO = BO = CO = $$2\sqrt{3}$$ см.

Пусть MO – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда MO – искомое расстояние от точки M до плоскости ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MAO (или MBO, MCO, они все равны). В нем MA = 4 см (дано), AO = $$2\sqrt{3}$$ см (найдено).

По теореме Пифагора:

$$MO^2 = MA^2 - AO^2$$ $$MO^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4$$ $$MO = \sqrt{4} = 2$$

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости ABC равно 2 см.

Ответ: 2 см