Из точки Р, лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках А и В, другая в точках С и Д. Известно, что РА: РВ = PC: PD = 1 : 2 и РВ = 10. Найдите РС.

Из теоремы о секущих следует, что $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$.
По условию $$PA:PB = 1:2$$, значит $$PA = \frac{1}{2}PB$$.
Так как $$PB = 10$$, то $$PA = 5$$.
Также по условию $$PC:PD = 1:2$$, значит $$PD = 2PC$$.
Подставляем в уравнение: $$5  10 = PC  2PC$$.
$$50 = 2PC^2$$.
$$PC^2 = 25$$.
$$PC = 5$$.