Из точки Р, отстоящей от окружности на 8 см, проведены касательные РА и РВ (см. рис.). Чему равен радиус окружности, если РА + РВ = 24 см?

Пусть (O) - центр окружности, (r) - её радиус. (PA) и (PB) - касательные к окружности, проведенные из точки (P). Известно, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, (OA \perp PA) и (OB \perp PB).

Таким образом, треугольники (\triangle OAP) и ( \triangle OBP) являются прямоугольными. Они равны, так как (OA = OB = r) (радиусы), а сторона (OP) - общая. Следовательно, (PA = PB).

Так как (PA + PB = 24) см, то (PA = PB = 24 / 2 = 12) см.

По условию, точка (P) отстоит от окружности на 8 см, то есть (PD = 8) см, где (D) - точка на отрезке (OP) такая, что (OD = r). Тогда (OP = OD + DP = r + 8).

Рассмотрим прямоугольный треугольник (\triangle OAP). По теореме Пифагора: $$OA^2 + PA^2 = OP^2$$

Подставим известные значения: $$r^2 + 12^2 = (r + 8)^2$$

$$r^2 + 144 = r^2 + 16r + 64$$

$$16r = 144 - 64$$

$$16r = 80$$

$$r = 80 / 16 = 5$$

Ответ: 5 см