Из центра окружности O к хорде MN, равной 30 см, проведен перпендикуляр OK. Найдите длину OK, если ∠MON = 45°.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружности и прямоугольного треугольника.

1. Визуализация и обозначения:

   Представим окружность с центром O. Хорда MN равна 30 см. OK – перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду MN. ∠MON = 45°. Обозначим радиус окружности как R, а длину OK как x.

2. Свойство перпендикуляра к хорде:

   Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Следовательно, MK = KN = MN / 2 = 30 см / 2 = 15 см.

3. Рассмотрим треугольник MOK:

   Треугольник MOK – прямоугольный (так как OK перпендикулярен MN). Рассмотрим угол MOK. Так как OK - биссектриса угла MON (в равнобедренном треугольнике MON высота является и биссектрисой), то ∠MOK = ∠MON / 2 = 45° / 2 = 22.5°.

4. Использование тригонометрии:

   В прямоугольном треугольнике MOK мы знаем катет MK и угол MOK. Нам нужно найти катет OK (x). Можно использовать тангенс угла MOK:

   $$\tan(∠MOK) = \frac{MK}{OK}$$

   $$\tan(22.5^\circ) = \frac{15}{x}$$

5. Выражение для x:

   $$x = \frac{15}{\tan(22.5^\circ)}$$

6. Значение тангенса 22.5 градусов:

   $$\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$$

7. Вычисление OK:

   $$x = \frac{15}{\sqrt{2}-1} = \frac{15(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{15(\sqrt{2}+1)}{2-1} = 15(\sqrt{2}+1) \approx 15 * 2.414 \approx 36.21$$

Ответ: Длина OK приблизительно равна 36.21 см.