Из вершины тупого угла перпендикулярно к его сторонам проведены два луча так, что образованный этими лучами угол является острым. Докажите, что сумма этого острого угла и данного тупого угла равна 180°.

Обозначим тупой угол как ∠AOB. Из вершины O проведены два луча OC и OD перпендикулярно к сторонам OA и OB соответственно. Значит, ∠AOC = 90° и ∠BOD = 90°. Угол между лучами OC и OD - ∠COD - является острым.

Четырехугольник AOCD имеет углы ∠AOC = 90°, ∠BOD = 90°. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠AOB + ∠AOC + ∠BOD + ∠COD = 360°

∠AOB + 90° + 90° + ∠COD = 360°

∠AOB + ∠COD = 360° - 180°

∠AOB + ∠COD = 180°

Следовательно, сумма тупого угла (∠AOB) и острого угла (∠COD) равна 180°.