Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведён перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = (AD + BC)/2.

Обозначим через F основание перпендикуляра, опущенного из B на AD. Поскольку AD ∥ BC, четырёхугольник BCFD — прямоугольник, поэтому FD = BC и BF = CE.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AB = CD. Прямоугольные треугольники ABF и DCE имеют равные гипотенузы AB = CD и равные катеты BF = CE, следовательно, они равны. Поэтому AF = DE.

Точки A, F, E, D лежат на прямой AD в таком порядке. Значит, AD = AF + FE + ED, а AE = AF + FE. С учётом AF = ED получаем:

AD + BC = AF + FE + ED + FD = 2(AF + FE) = 2AE.

Следовательно, AE = (AD + BC)/2.