Из вершины угла ∠ABC проведен луч BD так, что ∠ABD: ∠DBC = 3:8. Найдите углы ∠ABD, ∠DBC и ∠ABC, если угол ∠ABD меньше угла ∠DBC на 65°.

Решение:

Пусть \( \angle ABD = 3x \) и \( \angle DBC = 8x \).

По условию, \( \angle ABD \) меньше \( \angle DBC \) на \( 65^{\circ} \), то есть \( \angle DBC - \angle ABD = 65^{\circ} \).

1. Подставим выражения через \( x \): \( 8x - 3x = 65^{\circ} \)
2. Решим уравнение: \( 5x = 65^{\circ} \) \( x = \frac{65^{\circ}}{5} = 13^{\circ} \).
3. Найдем градусные меры углов:
• \( \angle ABD = 3x = 3 \cdot 13^{\circ} = 39^{\circ} \).
• \( \angle DBC = 8x = 8 \cdot 13^{\circ} = 104^{\circ} \).
4. Найдем градусную меру угла \( \angle ABC \): \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 39^{\circ} + 104^{\circ} = 143^{\circ} \).
5. Проверим разность: \( 104^{\circ} - 39^{\circ} = 65^{\circ} \), что соответствует условию.

Ответ: ∠ABD = 39°, ∠DBC = 104°, ∠ABC = 143°.