Из вершины угла \(\angle\) ABC проведен луч BD так, что \(\angle\) ABD: \(\angle\) DBC = 3:8. Найдите углы \(\angle\) ABD, \(\angle\) DBC и \(\angle\) ABC, если угол \(\angle\) ABD меньше угла \(\angle\) DBC на 65°.

Решение:

Отношение углов \( \angle ABD \) и \( \angle DBC \) равно 3:8. Обозначим меры этих углов как \( 3x \) и \( 8x \). По условию, \( \angle ABD \) меньше \( \angle DBC \) на 65°, значит \( 8x - 3x = 65^{\circ} \).

1. Упростим уравнение: \( 5x = 65^{\circ} \).
2. Найдем значение \( x \): \( x = \frac{65^{\circ}}{5} = 13^{\circ} \).
3. Найдем меру угла \( \angle ABD \): \( 3x = 3 \times 13^{\circ} = 39^{\circ} \).
4. Найдем меру угла \( \angle DBC \): \( 8x = 8 \times 13^{\circ} = 104^{\circ} \).
5. Найдем меру угла \( \angle ABC \), который равен сумме \( \angle ABD \) и \( \angle DBC \): \( 39^{\circ} + 104^{\circ} = 143^{\circ} \).

Ответ: \( \(\angle\) ABD = 39^{\(\circ\)}, \(\angle\) DBC = 104^{\(\circ\)}, \(\angle\) ABC = 143^{\(\circ\)}.