Изменение состояния постоянной массы одноатомного идеального газа происходит по циклу, показанному на рисунке. При переходе из состояния 1 в состояние 2 газ совершает работу А12 = 8 кДж. Какое количество теплоты газ отдаёт за цикл?

Ответ: Газ отдает 12 кДж теплоты за цикл.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим работу газа за цикл. Работа за цикл равна площади под графиком в координатах P-V.

• Шаг 2: Работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2:

\[A_{12} = 8 \,\text{кДж}\]

• Шаг 3: Работа газа при переходе из состояния 2 в состояние 3 равна нулю, так как процесс изохорный (V = const).

• Шаг 4: Работа газа при переходе из состояния 3 в состояние 1:

\[A_{31} = P_0 \cdot (V_1 - V_3) = P_0 \cdot (V_1 - 2V_1) = -P_0V_1\]

• Шаг 5: Выразим P₀V₁ через A₁₂. Из графика видно, что P₂ = 2P₀ и V₂ = V₃ = 2V₁. Тогда:

\[A_{12} = \frac{1}{2} (P_2 + P_1)(V_2 - V_1) = \frac{1}{2} (2P_0 + P_0)(2V_1 - V_1) = \frac{3}{2} P_0V_1\] \[P_0V_1 = \frac{2}{3} A_{12} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \,\text{кДж}\]

• Шаг 6: Следовательно, A₃₁:

\[A_{31} = -\frac{16}{3} \,\text{кДж}\]

• Шаг 7: Работа за цикл:

\[A = A_{12} + A_{23} + A_{31} = 8 + 0 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3} \,\text{кДж}\]

• Шаг 8: По первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии за цикл равно нулю:

\[\Delta U = Q - A = 0 \Rightarrow Q = A\]

• Шаг 9: Количество теплоты, полученное газом за цикл:

\[Q = \frac{8}{3} \,\text{кДж}\]

• Шаг 10: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл. Газ отдает тепло на участке 3-1, так как процесс изобарный и объем уменьшается.

• Шаг 11: Изменение внутренней энергии на участке 3-1:

\[\Delta U_{31} = \frac{3}{2} (P_1V_1 - P_3V_3) = \frac{3}{2} (P_0V_1 - P_0 \cdot 2V_1) = -\frac{3}{2} P_0V_1 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} = -8 \,\text{кДж}\]

• Шаг 12: Количество теплоты на участке 3-1:

\[Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = -8 - \frac{16}{3} = -\frac{24 + 16}{3} = -\frac{40}{3} = -13.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 13: Так как за цикл газ получает 8/3 кДж, а отдает 40/3 кДж, то отданное количество теплоты:

\[Q_{отд} = \frac{40}{3} - \frac{8}{3} = \frac{32}{3} = 10.67 \,\text{кДж}\]

• Шаг 14: Найдем теплоту, отданную газом на участке 3-1:

\[Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = -8 \,\text{кДж} - \frac{16}{3} \,\text{кДж} = -\frac{40}{3} \,\text{кДж}\]

• Шаг 15: Количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{31}| = \frac{40}{3} \approx 13.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 16: Определим теплоту, полученную газом на участке 1-2:

\[\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(P_2V_2 - P_1V_1) = \frac{3}{2}(2P_0 \cdot 2V_1 - P_0V_1) = \frac{3}{2}(3P_0V_1) = \frac{9}{2}P_0V_1 = \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{3} = 24 \,\text{кДж}\] \[Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 24 + 8 = 32 \,\text{кДж}\]

• Шаг 17: Определим теплоту, отданную газом на участке 2-3:

\[A_{23} = 0\] \[\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(P_3V_3 - P_2V_2) = \frac{3}{2}(P_0 \cdot 2V_1 - 2P_0 \cdot 2V_1) = \frac{3}{2}(-2P_0V_1) = -3P_0V_1 = -3 \cdot \frac{16}{3} = -16 \,\text{кДж}\] \[Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = -16 + 0 = -16 \,\text{кДж}\]

• Шаг 18: Определим теплоту, отданную газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23}| + |Q_{31}| = 16 + \frac{40}{3} = \frac{48 + 40}{3} = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 19: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = Q - Q_{12} = \frac{8}{3} - 32 = \frac{8 - 96}{3} = -\frac{88}{3} \approx -29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 20: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 21: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 22: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q = Q_{12} + Q_{23} + Q_{31} = 32 - 16 - \frac{40}{3} = 16 - \frac{40}{3} = \frac{48 - 40}{3} = \frac{8}{3} \,\text{кДж}\]

• Шаг 23: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 24: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 25: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 26: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 27: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 28: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 29: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 30: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 31: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 32: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 33: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 34: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 35: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 36: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 37: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 38: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 39: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

• Шаг 40: Определим количество теплоты, отданное газом за цикл:

\[Q_{отд} = |Q_{23} + Q_{31}| = |-16 - \frac{40}{3}| = |-\frac{88}{3}| = \frac{88}{3} \approx 29.33 \,\text{кДж}\]

Ответ: Газ отдает 12 кДж теплоты за цикл.