Изобразите сечение единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящее через вершины A, D₁ и середину ребра CD. Найдите его площадь.

Обозначим через M середину ребра CD. Введём координаты куба с ребром 1: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), D₁(0, 1, 1). Тогда M(1/2, 1, 0).

Плоскость через A, D₁ и M задаётся уравнением −2x + y − z = 0. На гранях куба она пересекается по отрезкам AD₁, D₁M и MA, поэтому сечение — треугольник AD₁M.

Найдём площадь по двум сторонам, выходящим из A:

\(\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1),\quad \overrightarrow{AM}=(1/2,1,0)\).

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

\(S_{AD_1M}=\frac12\left|\overrightarrow{AD_1}\times\overrightarrow{AM}\right|=\frac12\sqrt{1+1/4+1/4}=\frac{\sqrt6}{4}\).

Ответ: площадь сечения равна \(\frac{\sqrt6}{4}\).