Изобразите сечение правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, все рёбра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC. Найдите его площадь.

Обозначим через M середину SC. Введём координаты: A(−1/2, −1/2, 0), B(1/2, −1/2, 0), C(1/2, 1/2, 0), D(−1/2, 1/2, 0), S(0, 0, h). Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно \(\sqrt2/2\), поэтому из условия SA = 1 получаем \(h=1/\sqrt2\).

Тогда M(1/4, 1/4, h/2). Плоскость через A, B и M имеет уравнение \(z=\frac{2h}{3}(y+1/2)\). На ребре SD она пересекает точку N(−1/4, 1/4, h/2), то есть середину SD. Следовательно, сечение — четырёхугольник ABMN. Отрезки AB и MN параллельны, причём \(AB=1\), а MN — средняя линия треугольника SCD, поэтому \(MN=1/2\).

Высота трапеции ABMN равна расстоянию между параллельными прямыми AB и MN. По координатам их разделяют изменения \(\Delta y=3/4\) и \(\Delta z=h/2\), откуда

\(H=\sqrt{(3/4)^2+(h/2)^2}=\sqrt{9/16+1/8}=\frac{\sqrt{11}}{4}\).

Тогда площадь сечения:

\(S_{ABMN}=\frac{AB+MN}{2}\,H=\frac{1+1/2}{2}\cdot\frac{\sqrt{11}}{4}=\frac{3\sqrt{11}}{16}\).

Ответ: площадь сечения равна \(\frac{3\sqrt{11}}{16}\).