274. Известно, что △ABC ~ △MNK. Найдите: а) величину угла В, если ∠М = 80°, ∠K = 40°; б) величину угла К, если ∠N = 75°, ∠A = ∠B; в) длину стороны АВ, если ВС = 15 см, МN = 21 см, NК = 45 см; г) площадь треугольника MNK, если ∠A = 90°, BC = 15 см, АВ = 12 см, NК = 5 см.

а) Так как треугольники ABC и MNK подобны, то соответствующие углы равны. Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике MNK известны два угла ∠М = 80° и ∠K = 40°, следовательно, ∠N = 180° - (80° + 40°) = 60°. Значит, ∠B = ∠N = 60°.

Ответ: 60°

б) В треугольнике MNK известен ∠N = 75°. ∠A = ∠B, значит ∠A + ∠B + ∠C = 180°, 2∠A + ∠C = 180°. ∠K = ∠C, тогда 2∠A + ∠K = 180°. ∠A = (180° - ∠K) / 2. ∠K = 180° - ∠N - ∠M. Т.к. ∠A = ∠B, ∠N = 75°, то ∠A = ∠B = (180°-75°)/2 = 52,5°. Тогда ∠K = ∠C = 180° - 2 * 52.5° = 75°

Ответ: 75°

в) Так как треугольники ABC и MNK подобны, то отношения соответствующих сторон равны: AB/MN = BC/NK. Подставим известные значения: AB/21 = 15/45. AB = (15 * 21) / 45 = 7 см.

Ответ: 7 см

г) Если ∠A = 90°, то треугольник ABC прямоугольный. Площадь треугольника ABC равна половине произведения его катетов: S = 1/2 * AB * AC. По теореме Пифагора AC = √(BC² - AB²) = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9 см. S = 1/2 * 12 * 9 = 54 см². Так как треугольники ABC и MNK подобны, то S(MNK)/S(ABC) = (NK/AC)², S(MNK) = S(ABC) * (NK/AC)² = 54 * (5/9)² = 54 * 25/81 = 16.67 см².

Ответ: 16.67 см²