277. На рисунке 261 АК = 4 см, КВ = 8 см, ЕС = 12 см. Найдите периметр параллелограмма KBEF.

Рассмотрим треугольники AKF и ABC. ∠A - общий, ∠AKF = ∠ABC как соответственные при KF || BC (свойство параллелограмма). Следовательно, треугольники AKF и ABC подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AK}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{KF}{BC} $$, где AB = AK + KB = 4 + 8 = 12 см, AC = AF + FC.

Рассмотрим треугольники KBE и ABC. ∠B - общий, ∠BKE = ∠BAC как соответственные при KE || AC (свойство параллелограмма). Следовательно, треугольники KBE и ABC подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{KB}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{KE}{AC} $$

Найдем BE:

$$ \frac{8}{12} = \frac{BE}{BC} $$

Так как BC = BE + EC = BE + 12, то

$$ \frac{8}{12} = \frac{BE}{BE + 12} $$ $$ 8(BE + 12) = 12BE $$ $$ 8BE + 96 = 12BE $$ $$ 4BE = 96 $$ $$ BE = 24 $$

Следовательно, BC = 24 + 12 = 36 см.

Найдем KE:

$$ \frac{8}{12} = \frac{KE}{AC} $$, где AC = KE + AF.

Так как KBEF - параллелограмм, то KE = BF, KB = EF = 8 см.

Периметр параллелограмма KBEF равен:

$$ P = 2(KB + BE) = 2(8 + 24) = 2 \cdot 32 = 64 $$

Ответ: Периметр параллелограмма KBEF равен 64 см.