Известно, что ∠1 + ∠3 = 108°, CD — биссектриса ∠ACE. Найдите ∠1. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как CD — биссектриса ∠ACE, то ∠ACD = ∠DCE. Обозначим ∠ACD = ∠DCE = x.

Углы ∠1 и ∠3 являются смежными углами, поэтому ∠1 + ∠3 = 108°.

Угол ∠ACE является развернутым, то есть ∠ACE = 180°.

∠ACE = ∠ACD + ∠DCE + ∠3 = x + x + ∠3 = 2x + ∠3 = 180°.

Из условия ∠1 + ∠3 = 108°. Также ∠1 и ∠ACE смежные, что некорректно по рисунку. Предположим, что ∠ACE = 180°, и CD — биссектриса. Тогда ∠1 и ∠3 — части развернутого угла. По рисунку ∠1 и ∠3 являются частью развернутого угла ∠ACE.

Если ∠ACE = 180°, то ∠ACD + ∠DCE = 180°. Так как CD - биссектриса, то ∠ACD = ∠DCE = 90°. Это противоречит условию.

Перечитаем условие: ∠1 + ∠3 = 108°. CD — биссектриса ∠ACE.

По рисунку ∠ACE = ∠1 + ∠2 + ∠3, где ∠2 — это ∠ACD. И CD — биссектриса ∠ACE.

Это означает, что ∠ACD = ∠DCE. Но на рисунке ∠1, ∠2, ∠3 расположены так, что ∠ACE = ∠1 + ∠2 + ∠3. И CD — биссектриса ∠ACE, значит ∠ACD = ∠DCE.

Если CD - биссектриса ∠ACE, то ∠ACD = ∠DCE. На рисунке ∠ACE - это весь угол. ∠1, ∠2, ∠3 - это части угла ∠ACE. ∠ACD = ∠1 + ∠2. ∠DCE = ∠3. Значит ∠1 + ∠2 = ∠3. Условие ∠1 + ∠3 = 108°.

Если CD - биссектриса ∠ACE, то ∠ACD = ∠DCE. У нас есть ∠1, ∠2, ∠3. ∠ACE = ∠1+∠2+∠3. CD биссектриса ∠ACE => ∠ACD = ∠DCE. ∠ACD = ∠1+∠2. ∠DCE = ∠3. Следовательно, ∠1+∠2 = ∠3. У нас есть ∠1+∠3=108.

Подставим ∠3 = ∠1+∠2 в первое уравнение: ∠1 + (∠1+∠2) = 108 => 2∠1 + ∠2 = 108.

Но ∠ACE — это развернутый угол, т.е. 180°. ∠ACE = ∠1+∠2+∠3 = 180°.

Мы имеем систему:

1) 2∠1 + ∠2 = 108

2) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180

3) ∠3 = ∠1 + ∠2

Подставим (3) в (2): ∠1 + ∠2 + (∠1 + ∠2) = 180 => 2∠1 + 2∠2 = 180 => ∠1 + ∠2 = 90.

Теперь подставим ∠1 + ∠2 = 90 в (1): 2∠1 + (90 - ∠1) = 108 => ∠1 + 90 = 108 => ∠1 = 18.

Проверим: ∠1 = 18°. ∠1+∠2=90 => ∠2=72°. ∠3=∠1+∠2=18+72=90°. ∠1+∠3=18+90=108°. ∠ACE=∠1+∠2+∠3=18+72+90=180°. CD биссектриса ∠ACE, т.е. ∠ACD = ∠DCE. ∠ACD = ∠1+∠2 = 18+72=90°. ∠DCE = ∠3 = 90°. Все верно.

Ответ: 18