4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

1. AB = AD (по условию).
2. BC = DC (по условию).
3. AC – общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольники ABO и ADO:

1. AB = AD (по условию).
2. ∠BAO = ∠DAO (т.к. ∠BAC = ∠DAC).
3. AO – общая сторона.

Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), а значит, BO = DO.

Ответ: BO = DO (доказано).