Известно, что AB ⟂ AC, AB ⟂ AD, AC ⟂ AD (рис. 9.11). Найдите отрезок BC, если CD = 2√43 см, BD = 12 см, ∠ABD = 60°.

В прямоугольном треугольнике \(ABD\) гипотенуза \(BD=12\) см, а \(\angle ABD=60^\circ\). Поэтому \(AB=BD\cos60^\circ=6\) см и \(AD=BD\sin60^\circ=6\sqrt3\) см.

Так как \(AC\perp AD\), треугольник \(ACD\) прямоугольный:

\(AC^2=CD^2-AD^2=(2\sqrt{43})^2-(6\sqrt3)^2=172-108=64\), значит, \(AC=8\) см.

Так как \(AB\perp AC\), треугольник \(ABC\) прямоугольный:

\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\), следовательно, \(BC=10\) см.

Ответ: 10 см.