5. Известно, что АВ | CD. AM = CK, ZAMB = ZCKD (рис. 270). Докажите, что BC | AD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

По условию AB || CD и AM = CK.

Также дано, что ∠AMB = ∠CKD.

Так как AM = CK, то MB = AB - AM = CD - CK = DK.

Теперь рассмотрим треугольники AMB и CKD.

• AM = CK (по условию)
• MB = DK (доказано выше)
• ∠AMB = ∠CKD (по условию)

Следовательно, треугольники AMB и CKD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, то есть AB = CD и ∠ABM = ∠CDK.

Так как AB || CD, то ∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

• AB = CD (доказано выше)
• AC - общая сторона
• ∠BAC = ∠DCA (доказано выше)

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠BCA = ∠DAC.

Так как ∠BCA = ∠DAC, то BC || AD как накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC.

Ответ: BC || AD (доказано).