596. Известно, что числа а², b², c² 1 b+c' a+c' a+b последовательные члены ариф- метической прогрессии. Докажите, что числа - кже являются последовательными членами некоторой ариф-ической прогрессии.

Пусть $$a^2$$, $$b^2$$, $$c^2$$ - последовательные члены арифметической прогрессии, тогда $$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$, то есть $$2b^2 = a^2 + c^2$$. Рассмотрим числа $$\frac{1}{b+c}$$, $$\frac{1}{a+c}$$, $$\frac{1}{a+b}$$. Чтобы доказать, что эти числа являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, нужно показать, что разность между соседними членами одинакова, то есть $$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$$ $$\frac{b+c - a - c}{(a+c)(b+c)} = \frac{a+c - a - b}{(a+b)(a+c)}$$ $$\frac{b - a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c - b}{(a+b)(a+c)}$$ Так как $$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$, то $$(b - a)(b + a) = (c - b)(c + b)$$. Тогда $$b - a = \frac{c - b}{b+a}(c+b)$$ Значит, нужно доказать, что $$\frac{c - b}{(a+c)(b+c)} = \frac{c - b}{(a+b)(a+c)}$$ То есть, что $$b+c = a+b$$ $$c = a$$ Но это не следует из условия. Значит, числа $$\frac{1}{b+c}$$, $$\frac{1}{a+c}$$, $$\frac{1}{a+b}$$ не всегда являются последовательными членами арифметической прогрессии.