4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK = ZFMK.

Докажем, что ∠EMK = ∠FMK.

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC.
2. В этих треугольниках EK = FK (по условию), ЕС = FC (по условию), KC - общая сторона.
3. Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
4. Из равенства треугольников следует равенство углов ∠EKC = ∠FKC.
5. Рассмотрим треугольники EMK и FMK.
6. В этих треугольниках EK = FK (по условию), MK - общая сторона, ∠EKM = ∠FKM (из пункта 4).
7. Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
8. Из равенства треугольников следует равенство углов ∠EMK = ∠FMK.

Ответ: ∠EMK = ∠FMK, что и требовалось доказать.