4. Известно, что ЕК FK и EC FC (рис. 43). Докажите, что LEMK-FMK

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ЕКМ и FKM.
2. ЕК = FK (по условию).
3. ЕС = FC (по условию).
4. МК - общая сторона.
5. Треугольники ЕКС и FKC равны по трем сторонам (EK = FK, EC = FC, КС - общая).
6. Значит, углы ЕКС и FKC равны.
7. Рассмотрим треугольники EСM и FCM:
   • ЕС = FC (по условию)
   • ∠ECM = ∠FCM (из равенства треугольников ЕКС и FKC)
   • CM - общая сторона
8. Треугольники EСM и FCM равны по двум сторонам и углу между ними.
9. ЕМ = FM (как соответствующие стороны равных треугольников).
10. Рассмотрим треугольники ЕМК и FMК:
    • ЕК = FK (по условию)
    • ЕМ = FM (доказали выше)
    • МК - общая сторона
11. Треугольники ЕМК и FMК равны по трем сторонам.
12. ∠ЕMK = ∠FMК (как соответствующие углы равных треугольников).

Ответ: ∠ЕMK = ∠FMК, что и требовалось доказать.