5. Известно, что графики функций у = х² + р и у = -2х - 2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Ответ: Координаты точки: (-1; 0).

1. Шаг 1: Приравняем функции

   Поскольку графики функций имеют только одну общую точку, то уравнение x² + p = -2x - 2 должно иметь только одно решение.

   Запишем уравнение:

   \[ x^2 + p = -2x - 2 \]

   Преобразуем уравнение к виду квадратного:

   \[ x^2 + 2x + p + 2 = 0 \]

2. Шаг 2: Условие единственного решения

   Для того чтобы квадратное уравнение имело только одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

   \[ D = b^2 - 4ac = 0 \]

   В нашем случае a = 1, b = 2, c = p + 2.

   \[ 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p + 2) = 0 \] \[ 4 - 4(p + 2) = 0 \] \[ 4 - 4p - 8 = 0 \] \[ -4p = 4 \] \[ p = -1 \]

3. Шаг 3: Найдем координаты точки касания

   Теперь, когда мы знаем значение p, мы можем найти x координату точки касания, решив уравнение:

   \[ x^2 + 2x + (-1) + 2 = 0 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] \[ (x + 1)^2 = 0 \] \[ x = -1 \]

   Найдем y координату, подставив x = -1 в одну из функций (например, y = -2x - 2):

   \[ y = -2 \cdot (-1) - 2 = 2 - 2 = 0 \]

   Таким образом, точка касания имеет координаты (-1; 0).

Ответ: Координаты точки: (-1; 0).