Известно, что квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет равные по модулю, но противоположные по знаку корни. Тогда:

• Условие: Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку. Это означает, что если один корень равен x₁, то другой корень равен -x₁.
• Следствие из теоремы Виета: По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.
• Применение:
• Сумма корней: x₁ + (-x₁) = 0. Следовательно, -b/a = 0, что возможно только если b = 0 (при условии, что a ≠ 0).
• Произведение корней: x₁ * (-x₁) = -x₁². Следовательно, c/a = -x₁². Поскольку x₁² ≥ 0, то -x₁² ≤ 0. Таким образом, c/a ≤ 0. Если корни равны нулю, то c = 0. Если корни не равны нулю, то c/a < 0.
• Анализ вариантов:
• 1) c = 0: Это возможно, но не является полным условием.
• 2) b = c = 0: Если b=0, условие выполняется. Если c=0, то корни 0 и 0, что не противоположны по знаку (если только не считать 0 противоположным самому себе).
• 3) b = 0, ac < 0: Если b = 0, то ax² + c = 0, x² = -c/a. Чтобы корни были действительными и противоположными по знаку, -c/a должно быть > 0, что означает c/a < 0. Это условие выполняется.
• 4) b = 0, ac > 0: Если b = 0, то x² = -c/a. Условие ac > 0 означает, что a и c имеют одинаковые знаки. Если a>0, c>0, то -c/a < 0, нет действительных корней. Если a<0, c<0, то -c/a > 0, есть два действительных корня, но они будут иметь одинаковый знак, а не противоположный.
• 5) a = 0, bc < 0: Если a = 0, это уже не квадратное уравнение.

Ответ: 3) b = 0, ac < 0.